所谓降维（dimensionalityreduction），即降低样本的特征的数量，例如样本有10个特征值，要降维成5个特征值，即通过一些方法，把样本的10个特征值映射换算成5个特征值。
因此，降维是对输入的样本数据进行处理的，并没有对预测、分类的结果进行处理。
降维的最常用的方法叫做主成分分析（PCA，principal component analysis）。最常用的业务场景是数据压缩、数据可视化。该方法只考虑样本的特征，不考虑样本的结果标签，因此PCA是一种无监督学习算法。
二、PCA基础
1、目的
PCA的目的，是找到一个低维的超平面，让每个样本投影到该平面的距离的总和最短。通常样本投影之前还要进行均值化和归一化。
2、降维
当需要使用PCA，将样本数据从二维降到一维，即可以理解成在平面上，找到一个向量，使得平面上的所有点到该向量的垂直距离的总和最短，如下图所示：
三维降维到二维如下图所示：
其中，每个样本到该向量的垂直距离，称为投影误差（projection error），u(i)表示第i个样本的投影误差，正值表示和向量同向，负值表示反向。下图的红线表示向量，蓝色的线表示投影误差。
上图画出了红线和粉线，粉色的即错误的pca的结果，可以看出所有点到这个粉线的投影误差都非常大这个就是不正确的pca。而红色的线，相比之下，所有点到其的投影误差就非常小了。
3、定义
对PCA更通用的定义：
n维特征，要降维到k维，泽需要找出k个向量u(1),u(2),…u(k)，让所有样本到由这些向量组成的超平面的距离之和最小。如下图所示：
4、PCA与线性回归区别
上面PCA的例子，看起来非常像线性回归，然而实际上，PCA并不是线性回归。
线性回归，其二维图像的含义是，对于1个特征x，输出结果是y，即线性回归的纵轴是输出的标签y。因此，线性回归最终找到的线，其目的是让所有的样本的点距离这条线的纵向距离的和最小。
相比之下，PCA的图，是两个特征组成的图，x1和x2没有关联，只不过是一个样本的两个特征。其拟合的线，目的是使每个样本到这个线的垂直距离（即最短距离）的和最小。如下图所示，左边为线性回归的图，右边为PCA的图：
三、PCA计算过程
1、数据预处理
1）把各特征进行归一化，令这些特征在一个数量级中。
2）计算所有样本，每个特征值的均值。
3）把每个样本中的每个特征值，换成原特征值减去该特征值的均值。
2、计算所有样本的协方差，生成协方差矩阵Σ（注意这里的Σ是矩阵的标记，而不是求和的标记），Σ是一个n*n维的矩阵。
3、计算Σ的特征值和特征向量。
4、将特征值按照从大到小的顺序排序，选择其中最大的k个，然后将其对应的k个特征向量分别作为列向量组成特征向量矩阵。
5、将样本点投影到选取的特征向量上。
6、说明
对于octave语言，求出Σ后，调用函数[U,S,V]=svd(Sigma)，其中的U，是一系列由向量u(i)组成的矩阵，前面k个组成的矩阵即为PCA所需要的矩阵，这里把其称为Ureduce，注意这个U是一个正交矩阵，即UT=U-1，这个性质后面会用到。
最终投影的结果Z=UreduceT*Xapprox，这里的X不考虑x0=1这一项。
过程如下图所示：
四、选择合适的k
k表示的是降维后的维度，诸如数据压缩等场景，没有明确的降维的维度要求，则需要有一个概念来衡量降维的效果。这里引入一个公式，可以衡量降维的效果。
降维的效果=平均投影误差/总方差，如下图所示：
当计算结果为0.01，表示样本的99%的方差性会被保留，这个值越大表示样本损失的特征越少。这里根据需要，可以设定不同的结果，例如要求0.05，则是保留95%的方差性。
因此，判断k值的方法如下：
1）k初始值设置为1。
2）计算Z、Ureduce、Xapprox(即预处理后的输入样本)。
3）按上面的公式，计算结果是否大于要求（例如要求是0.01）。
4）如果不是，则k+1，然后重复2、3步骤，直到满足条件。
这样计算量很大，在octave中，有简化算法，上面公式[U,S,V]=svd(Sigma)中的S，即特征值排序后组成的对角矩阵，则公式有简化算法，如下图所示：
五、重建特征值
重建（reconstruction）特征值，即把被压缩的特征值还原回原来的维度。根据式子Z=UreduceT*Xapprox，因此Xapprox=(UreduceT)-1*Z。
另外，由于上面提到，U是一个正交矩阵，其转置矩阵和逆矩阵的结果是一样的，因此公式可以写成Xapprox=Ureduce*Z。
考虑到Xapprox≈X，因此重建特征值后，结果即为X≈Xapprox=Ureduce*Z，如下图所示：
六、PCA使用建议
1、使用
在监督学习中，假设输入的样本是(x(1),y(1)),(x(2),y(2))…(x(m),y(m))，现考虑使用logistic回归，用PCA来简化计算，方法如下：
1）提取出x(1),x(2),…x(m)，即不考虑y。
2）用PCA把其映射成z(1),z(2),…z(m)。
3）拼接回y，形成(z(1),y(1)),(z(2),y(2))…(z(m),y(m))。
4）进行参数计算，计算出θ，得到公式hθ(z)=1/(1+e-θTz)。
5）对于新输入的x，映射成z后，带入上面的h(z)即可。
2、反例
1）不宜用于解决过拟合
PCA算法，可以减少特征值的数量，因此对于过拟合的缓解是有作用的。但是，考虑到还有更优的解决过拟合的方式——正则化，因此不要用PCA来解决过拟合。
其中主要的问题，在于PCA的压缩过程，会丢失一些样本的特性，而正则化不会丢失太多的样本特性。
2）不能无脑使用PCA
PCA是有助于加速机器学习的学习过程，但是不能无脑的使用。建议所有的算法，都先用全量特征参与学习，只有发现真的速度太慢、占用太多的内存或硬盘，才考虑使用PCA。
3、实际应用
PCA主要用于数据压缩和数据可视化。
1）数据压缩
数据压缩，主要目的是减少内存和硬盘的使用，并且加速机器学习的速度。对于此目的，需要用上面介绍的方式，设定一个压缩后数据丢失的容忍值，然后计算出最合适的最小的降维维度k。
2）数据可视化
数据可视化，通常只能在二维、三维，因此此时直接将数据降维到二维或者三维即可。
——written by linhxx 2018.01.23
