其中：
下面就是要求出theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近
共有m条数据，其中代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，正负可能会抵消
前面有系数2的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导，2可以消去
实现代码：
# 计算代价函数
def computerCost(X,y,theta):
m = len(y)
J = 0
J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J
return J
注意这里的X是真实数据前加了一列1，因为有theta(0)
2、梯度下降算法
代价函数对求偏导得到：
所以对theta的更新可以写为：
其中为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取0.01,0.03,0.1,0.3.....
为什么梯度下降可以逐步减小代价函数
假设函数f(x)
泰勒展开：f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)
令：△x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长α
将△x代入泰勒展开式中：f(x+x)=f(x)-α*[f'(x)]²+o(△x)
可以看出，α是取得很小的正数，[f'(x)]²也是正数，所以可以得出：f(x+△x)<=f(x)
所以沿着负梯度放下，函数在减小，多维情况一样。
实现代码
# 梯度下降算法
def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters):
m = len(y)
n = len(theta)
temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters))) # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式
J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值
for i in range(num_iters): # 遍历迭代次数
h = np.dot(X,theta) # 计算内积，matrix可以直接乘
temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y))) #梯度的计算
theta = temp[:,i]
J_history[i] = computerCost(X,y,theta) #调用计算代价函数
print '.',
return theta,J_history
3、均值归一化
目的是使数据都缩放到一个范围内，便于使用梯度下降算法
其中 为所有此feture数据的平均值
可以是最大值-最小值，也可以是这个feature对应的数据的标准差
实现代码：
# 归一化feature
def featureNormaliza(X):
X_norm = np.array(X) #将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算
#定义所需变量
mu = np.zeros((1,X.shape[1]))
sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))
mu = np.mean(X_norm,0) # 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行）
sigma = np.std(X_norm,0) # 求每一列的标准差
for i in range(X.shape[1]): # 遍历列
X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i] # 归一化
return X_norm,mu,sigma
注意预测的时候也需要均值归一化数据
4、最终运行结果
代价随迭代次数的变化
5、使用scikit-learn库中的线性模型实现
导入包
from sklearn import linear_model
from sklearn.preprocessing import StandardScaler #引入缩放的包
归一化
# 归一化操作
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(X)
x_train = scaler.transform(X)
x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))
线性模型拟合
# 线性模型拟合
model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(x_train, y)
预测
#预测结果
result = model.predict(x_test)
实例及数据请入传送门：
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/tree/master/LinearRegression
